Pengertian Relasi Dalam Materi Fungsi

Agar anda paham pengertian dari relasi, sekarang coba perhatikan pernyataan berikut ini. "Sekelompok siswa yang terdiri dari enam siswa, yaitu Eka, Budi, Bayu, Ayu, Dwi, dan Satriani. Mereka memiliki hobi berolahraga. Eka suka bermain voli, Budi suka bermain sepak bola dan catur, Bayu suka bermain sepak bola, Ayu suka bermain bulu tangkis dan tenis meja, Dwi suka bermain sepak takraw, dan Satriani suka bermain bulu tangkis dan renang".

Perhatikan bahwa ada hubungan antara himpunan anak = {Eka, Budi, Bayu, Ayu, Dwi, dan Satriani } dengan himpunan olahraga = {voli, sepak bola, catur, bulu tangkis, tenis meja, sepak takraw, renang}. Himpunan anak dengan himpunan olahraga dihubungkan oleh kata suka bermain. Dalam hal ini, kata suka bermain merupakan relasi yang menghubungkan himpunan anak dengan himpunan olahraga.

Jadi, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Berdasarkan definisi relasi di atas, akan timbul permasalahan yaitu apakah boleh anggota himpunan A memiliki pasangan lebih dari satu anggota himpunan B? Begitu juga dengan sebaliknya, apakah boleh anggota himpunan B memiliki pasangan lebih dari satu anggota himpunan A?

Jawabannya boleh. Misalnya Iwan suka bermain bulu tangkis dan sepak bola dan permainan sepak bola disukai oleh Iwan dan Budi. Nah dari ilustrasi tersebut dapat disimpulkan bahwa anggota himpunan A boleh memiliki pasangan lebih dari satu anggota himpunan B dansebaliknya.
Contoh Soal

Diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 8, 12}. (a) Jika dari A ke B dihubungkan relasi “setengah dari”, tentukan himpunan anggota A yang mempunyai kawan di B. (b). Jika dari B ke A dihubungkan relasi “kuadrat dari”, tentukan himpunan anggota B yang mempunyai kawan di A

Penyelesaian:

A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6, 8, 12}.

(a) Jika dari A ke B dihubungkan relasi “setengah dari”, maka himpunan anggota A yang mempunyai kawan di B adalah {1, 2, 3, 4}

(b) Jika dari B ke A dihubungkan relasi “kuadrat dari”, maka himpunan anggota B yang mempunyai kawan di A adalah {2}

Nah postingan di atas merupakan pengertian relasi dan contoh soalnya. Bagaimana cara menyajikan suatu relasi?

Cara Menyajikan Suatu Relasi

Suatu relasi dapat disajikan dengan tiga cara yakni dengan diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan. Untuk memahami ketiga cara tersebut, sekarang coba perhatikan ilustrasi berikut ini. "Sekelompok siswa yang terdiri dari enam siswa, yaitu Eka, Budi, Bayu, Ayu, Dwi, dan Satriani. Mereka memiliki hobi berolahraga. Eka suka bermain voli, Budi suka bermain sepak bola dan catur, Bayu suka bermain sepak bola, Ayu suka bermain bulu tangkis dan tenis meja, Dwi suka bermain sepak takraw, dan Satriani suka bermain bulu tangkis dan renang".

Misalkan A = {Eka, Budi, Bayu, Ayu, Dwi, dan Satriani}, B = {voli, sepak bola, catur, bulu tangkis, tenis meja, sepak takraw, renang}, dan “olahraga yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

a. Dengan diagram panah

Relasi pada ilustrasi di atas dapat dinyatakan dengan diagram panah, seperti gambar di bawah ini

Gambar di atas menunjukkan relasi olahraga yang disukai dari himpunan A ke himpunan B. Arah panah menunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.

b. Dengan diagram Cartesius

Masih ingatkah Anda pengertian diagram Cartesius? Relasi antara himpunan A dan B dapat dinyatakan dengan diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakan dengan titik atau noktah. Gambar di bawah ini menunjukkan diagram Cartesius dari relasi olahraga yang disukai berdasarkan ilustrasi di atas.

c. Dengan himpunan pasangan berurutan

Himpunan pasangan berurutan berdasarkan ilustrasi di atas adalah sebagai berikut. {(Eka, voli), (Budi, sepak bola), (Budi, catur), (Bayu, sepak bola), (Ayu, bulu tangkis), (Ayu, tenis meja), (Dwi, sepak takraw), (Satriani, bulu tangkis), (Satriani, renang)}.

Pengertian Bidang atau Diagram Cartesius

Diagram Cartesius adalah sistem kordinat yang digunakan untuk meletakan titik pada penggambaran objek berdasarkan pemasukan nilai pada sumbu x dan nilai pada sumbu y dimana titik pertemuan ini nilai dari sumbu x dan sumbu y titik kordinat dibentuk. Jadi, diagram Cartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x dan koordinat y dari titik tersebut. Di mana x disebut absis dan y disebut ordinat.

Titik-titik pada koordinat Cartesius merupakan pasangan titik pada sumbu-x dan sumbu-y (x, y). Perpotongan antara sumbu-x dan sumbu-y di titik 0 (nol) disebut pusat koordinat. Untuk bagian atas sumbu y bernilai positif, sedangkan pada bagian bawah sumbu y bernilai negatif. Begitu juga pada sebelah kanan sumbu x bernilai positif, sedangkan pada sebelah kiri sumbu x bernilai negatif. Untuk contohnya silahkan lihat gambar di bawah ini.

Perhatikan diagram Cartesius pada gambar di atas. Warna ungu (violet) merupakan pusat koordinat yaitu titik (0,0) yang artinya sumbu x dan y bernilai nol. Untuk warna hijau, pada sumbu x bernilai 2 dan sumbu y bernilai 3 maka koordinat dalam bidang cartesius ditulis (2,3). Untuk warna merah, pada sumbu x bernilai  – 3 dan sumbu y bernilai 1 maka koordinat dalam bidang cartesius ditulis (– 3, 1). Sedangkan untuk warna biru, pada sumbu x bernilai  – 3 dan sumbu y bernilai 1 maka koordinat dalam bidang cartesius ditulis (–1.5 , –2.5).

Menurut wikipedia, istilah Cartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis bernama Descartes. Beliau memiliki peranan yang sangat besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (Cartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi.

Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Agar Anda mampu memahami pengertian fungsi, coba perhatikan uraianberikut. Pengambilan data mengenai nilai matematika dari enam siswa kelas VIIIA disajikan pada tabel berikut.

Jika tabel di atas disajikan ke dalam bentuk diagram panah maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Gambar  di atas merupakan diagram panah yang menunjukkan relasi perolehan nilai siswa dari data pada tabel di atas. Dari diagram panah pada gambar di atas dapat diketahui bahwa:

=> Setiap siswa memiliki nilai. Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai kawan atau pasangan dengan anggota B.

=> Setiap siswa memiliki tepat satu nilai. Hal ini berarti setiap anggota A mempunyai tepat satu kawan atau pasangan dengan anggota B, akan tetapi anggota B boleh memiliki lebih dari satu anggota A.

Berdasarkan urian di atas apa yang dapat Anda simpulkan? Berdasarkan uraian di atas maka dapat diambil kesimpulan bahwa relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Relasi yang demikian dinamakan fungsi atau pemetaan. Jadi, fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

Berdasarkan definisi tersebut bahwa suatu relasi bisa dikatakan sebagai fungsi atau pemetaan jika memiliki syarat-syarat. Ada dua syarat yang harus dipenuh supaya relasi tersebut dapat dikatakan sebagai fungsi yakni:pertama, setiap anggota A mempunyai pasangan di B. Jika ada salah satu anggota A tidak memiliki pasangan di B, maka relasi tersebut bukan fungsi.Kedua, setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Jika anggota A memilik lebih dari satu pasangan maka relasi itu bukan fungsi. Syarat kedua ini tidak berlaku untuk sebaliknya, maksudnya jika syarat pertama dipenuhi anggota B boleh memiliki pasangan lebih dari satu di anggota A.

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang pengertian fungsi atau pemetaan, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Di antara diagram panah di atas, manakah yang merupakan fungsi? Berikan alasannya.

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal tersebut Anda haruh paham dengan syarat-syarat suatu relasi bisa dikatakan sebagai sebuah fungsi.

i) Merupakan sebuah fungsi karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B.

ii) Bukan sebuah fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B

iii) Bukan sebuah fungsi karena ada anggota A yang tidak memiliki pasangan di B dan ada salah satu anggota A yang memiliki lebih dari satu anggota di B

iv) Bukan sebuah fungsi karena ada salah satu anggota A yang memiliki lebih dari satu anggota di B

Contoh Soal 2

Diketahui relasi dari himpunan P = {a, b, c, d} ke himpunan Q = {e, f, g} dengan ketentuan a ßà e, b ßà e, c ßà e, dan c ßà f. Apakah relasi tersebut merupakan suatu fungsi? Mengapa? Jelaskan jawabanmu.

Penyelesaian:

Jika disajikan ke dalam diagram panah akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Berdasarkan syarat-syarat suatu relasi agar dapat dikatakan sebagai fungsi maka relasi tersebut bukan sebuah fungsi karena ada satu anggota P yang tidak memiliki pasangan di Q dan ada anggota P yang memiliki lebih dari satu anggota di Q.

Menentukan Notasi dan Nilai Suatu Fungsi

Untuk mengetahui notasi suatu fungsi, perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas merupakan diagram panah dengan anggota himpunan P dan himpunan Q, yang menggambarkan fungsi yang memetakan x anggota himpunan A ke y anggota himpunan B. Notasi fungsi pada gambar di atas dapat ditulis sebagai berikut.

g : x à y atau g : x à g(x)

g : x à y atau g : x à g(x), dibaca: fungsi g memetakan x anggota A ke y anggota B. Di mana himpunan A disebut domain (daerah asal), himpunan B disebut kodomain (daerah kawan), dan himpunan C yang memuat y disebut range (daerah hasil).

Dalam hal ini, y = g(x) disebut bayangan (peta) x oleh fungsi g. Variabel x dapat diganti dengan sembarang anggota himpunan A dan disebutvariabel bebas. Adapun variabel y anggota himpunan B yang merupakan bayangan x oleh fungsi g ditentukan (bergantung pada) oleh aturan yang didefinisikan, sehingga disebut variabel bergantung.

Misalkan terdapat sebuah fungsi g(x) = ax + b. Untuk menentukan nilai fungsi untuk x tertentu, dengan cara mengganti (menyubstitusi) nilai x pada bentuk fungsi g(x) = ax + b.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan nilai suatu fungsi perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini.

Berdasarkan gambar di atas tentukan:

(a) domain;

(b) kodomain;

(c) range; dan

(d) bayangan dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7 oleh fungsi f.

Penyelesaian:

(a) Domain (daerah asal) pada gambar di atas adalah semua anggota himpunan P yakni: P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

(b) Kodomain (daerah kawan) pada gambar di atas adalah semua anggota himpunan Q yakni: Q = {a, b, c, d, e, f, g, h}

(c) Range (hasil) pada gambar di atas adalah anggota himpunan merupakan anggota himpunan Q yang berelasi dengan P yakni = {b, c, e, f, h}

(d) Untuk mencari bayangan fungsi f dapat dicari dengan melihat himpunan P yang berelasi dengan himpunan Q, yakni:

Bayangan 0 oleh fungsi f adalah f(0) = b.

Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c.

Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = e.

Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = e.

Bayangan 4 oleh fungsi f adalah f(4) = f.

Bayangan 5 oleh fungsi f adalah f(5) = f.

Bayangan 6 oleh fungsi f adalah f(6) = f

Bayangan 7 oleh fungsi f adalah f(7) = h

Contoh Soal 2

Diketahui fungsi f : x à 4x – 1. Tentukan nilai fungsi f untuk x = –5, –3, –1, 0, 2, 4, dan 10.

Penyelesaian:

Dengan mensubstitusi nilai x ke dalam fungsi f(x), maka:

f(x) = 4x – 1

f(–5) = 4(–5) – 1 = –21

f(–3) = 4(–3) – 1 = –13

f(–1) = 4(–1) – 1 = –5

f(0) = 4(0) – 1 = –1

f(2) = 4.2 – 1 = 7

f(4) = 4.4 – 1 = 15

f(10) = 4.10 – 1 = 39

Cara Menyajikan Suatu Fungsi

Untuk menyajikan suatu fungsi Anda harus paham cara menentukan nilai suatu fungsi (Silahkan baca: cara menentukan notasi dan nilai suatu fungsi). Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menyajikan suatu fungsi silahkan simak contoh berikut ini. Misalkan P = {0, 2, 4} dan Q = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Jika fungsi f: P --> Q ditentukan dengan f(x) = x – 2 maka:

f(0) = 0 – 2 = –2

f(2) = 2 – 2 = 0

f(4) = 4 – 2 = 2

Dari soal tersebut diketahui bahwa himpunan P = {0, 2, 4}  merupakan domain (daerah asal), himpunan Q = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} merupakan kodomain (daerah kawan) dan range (daerah hasil) yaitu {(–2, 0, 2)}. Nah sekarang dari hal tersebut kita sajikan ke dalam bentuk:

a. Diagram Panah

Diagram panah yang menggambarkan fungsi f tersebut seperti gambar  di bawah berikut ini

b. Diagram Cartesius

Diagram Cartesius dari fungsi f tersebut seperti gambar  di bawah berikut ini.

c. Himpunan Pasangan Berurutan

Himpunan pasangan berurutan dari fungsi f tersebut adalah {(0, –2), (2, 0), (4, 2)}.

Perhatikan bahwa setiap anggota A muncul tepat satu kali pada komponen pertama pada pasangan berurutan. Nah untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menyajikan suatu fungsi berikut Mafia Online berikan tambahan contoh soal dan pembahasannya.

Contoh Soal

Suatu fungsi dari A ke B didefinisikan sebagai f(x) = –2x + 7. Jika A = {x | –1 < x ≤ 5} dan B adalah himpunan bilangan bulat maka: a). tentukan f(x) untuk setiap x anggota himpunan A; b). gambarlah fungsi f(x) dalam diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Penyelesaian:

A = {x | –1 < x ≤ 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = Bilangan bulat, dan f(x) = –2x + 7, maka:

a) nilai f(x) untuk setiap x anggota himpunan A yakni:

f(0) = –2.0 + 7 = 7

f(1) = –2. 1 + 7 = 5

f(2) = –2.2 + 7 = 3

f(3) = –2.3 + 7 = 1

f(4) = –2.4 + 7 = –1

f(5) = –2.5 + 7 = –3

b). fungsi f(x) dalam diagram panah seperti gambar berikut di bawah ini

fungsi f(x) dalam diagram Cartesius seperti gambar berikut di bawah ini.

fungsi f(x) dalam himpunan pasangan berurutan yakni {(0, 7), (1, 5), (2, 3), (3, 1), (4, –1), (5, –2)}.

Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan yang Mungkin dari Dua Himpunan

Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan adalah dengan cara diagram panahdan dengan rumus. Untuk cara diagram panah terlalu ribet untuk diterapkan karena memerlukan waktu yang lama untuk pengerjaannya dan anda harus menggambar diagramnya satu persatu. Misalnya, jika A = {1, 2, 3} dan B= {a, b} maka n(A) = 3 dan n(B) = 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B ada 8, seperti tampak pada diagram panah pada gambar di bawah ini.

Contoh soal di atas untuk n(A) = 3 dan n(B) = 2, bagaimana kalau n(A) = 30 dan n(B) = 20? Mafia Online yakin Anda akan puyeng menggambar diagram panahnya. Jadi perlu solusi lain untuk memecahkan masalah tersebut yakni dengan menggunakan rumus. Cara yang paling cepat menurut Mafia Online adalah cara rumus karena cara ini tidak memerlukan waktu untuk pengerjaannya dan tidak perlu menggambar diagram panah satu persatu.

Untuk menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan dengan rumus sebagai berikut. Jika banyaknya anggota himpunan A adalahn(A) = a dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalah b^a dan banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalah a^b.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari dua himpunan, silahkan simak dua contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Jika A = {bilangan prima kurang dari 5} dan B = {huruf vokal}, hitunglah banyaknya pemetaan yang mungkin

a. dari A ke B;

b. dari B ke A, tanpa menggambar diagram panahnya.

Penyelesaian:

A = {2, 3}, n(A) = 2

B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5

a. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B = b^a = 52 = 25

b. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A = a^b = 25 = 32

Contoh Soal 2

Jika A = {x|–2 < x < 2, x є B} dan B = {x | x bilangan prima < 8}, tentukan

a. banyaknya pemetaan dari A ke B;

b. banyaknya pemetaan dari B ke A.

Contoh Soal 2

Jika A = {x|–2 < x < 2, x є B} dan B = {x | x bilangan prima < 8}, tentukan

a. banyaknya pemetaan dari A ke B;

b. banyaknya pemetaan dari B ke A.

Penyelesaian:

A = {x|–2 < x < 2, x є B} = {-1, 0, 1}, n(A) = 3

B = {x | x bilangan prima < 8} = {2, 3, 5, 7}, n(A) = 4

a. banyaknya pemetaan dari A ke B = b^a = 4³ = 64

b. banyaknya pemetaan dari B ke A = a^b = 3⁴ = 81

 

Cara Menentukan Rumus Fungsi Jika Nilainya Diketahui

Pada postingan sebelumnya telah dipaparkan cara menentukan nilai fungsi jika rumus fungsinya diketahui. Sekarang, akan membahas kebalikan dari kasus tersebut, yaitu jika nilai fungsinya diketahui.

Pada postingan ini bentuk fungsi yang akan dibahas hanyalah fungsi linear saja, yaitu f(x) = ax + b. Untuk bentuk fungsi kuadrat dan pangkat tinggi akan Anda pelajari pada tingkat yang lebih tinggi. Oke langsung saja ke pembahasannya.

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f : x = ax + b, dengan a dan bkonstanta dan x variabel maka rumus fungsinya adalah f(x) = ax + b. Jika nilai variabel x = m maka nilai f(m) = am + b.

Dengan demikian, kita dapat menentukan bentuk fungsi f jika diketahui nilai-nilai fungsinya. Selanjutnya, nilai konstanta a dan b ditentukan berdasarkan nilai-nilai fungsi yang diketahui. Agar Anda lebih mudah memahaminya pelajarilah contoh berikut.

Contoh Soal 1.

Diketahui suatu fungsi linear f(x) = 2x + m. Tentukan bentuk fungsi tersebut jika f(3) = 4.

Penyelesaian:

Untuk menyelesiakan soal tersebut Anda harus mencari niali m terlebih dahulu, yakni:

 f(x) = 2x + m

f(3) = 2.3 + m = 4

4 = 2.3 +  m

m = 4-6

m = -2

maka,

f(x) = 2x -2

Contoh Soal 2

Jika f(x) = ax + b, f(1) = 2, dan f(2) = 1

maka tentukan

a. Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear. Dengan demikian diperoleh

f(1) = 2, maka

f(1) = a (1) + b = 2

a+ b = 2 => a = 2 – b

f(2) = 1, maka

f(2) = a (2) + b = 1

2a+ b = 1

Untuk menentukan nilai b, masukan a = 2 – b ke persamaan 2a+ b = 1. maka

2a+ b = 1

2(2 – b) + b = 1

4 – 2b + b = 1

– b = – 3

b = 3

Untuk menentukan nilai a, nilai b = 3 ke persamaan:

a = 2 – b

a = 2 – 3

a = – 1

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = –x +3

b. bentuk paling sederhana dari f(x – 1) adalah:

f(x) = –x +3

f(x – 1) = –(x – 1) +3

f(x – 1) = –x + 1 +3

f(x – 1) = –x + 4

c. bentuk paling sederhana dari f(x) + f(x – 1) adalah

f(x) + f(x – 1) = (–x +3) + (–x + 4)

f(x) + f(x – 1) = –2x +7

Contoh soal 3.

Diketahui f(x) = ax + b. Tentukan bentuk fungsi-fungsi berikut jika

a. f(1) = 3 dan f(2) = 5;

b. f(0) = –6 dan f(3) = –5;

c. f(2) = 3 dan f(4) = 4.

Penyelesaian:

a. Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.

Untuk f(1) = 3, maka

f(1) = a (1) + b = 3

a+ b = 3 => a = 3 – b

Untuk f(2) = 5, maka

f(2) = a (2) + b = 5

2a+ b = 5

Untuk menentukan nilai b, masukan a = 3 – b ke persamaan 2a+ b = 5. maka

2a+ b = 5

2(3 – b) + b = 5

6 – 2b + b = 5

– b = – 1

b = 1

Untuk menentukan nilai a, nilai b = 1 ke persamaan:

a = 3 – b

a = 3 – 1

a = 2

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = 2x + 3

b.  Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.

Untuk f(0) = - 6, maka

f(0) = a (0) + b = - 6

b = - 6

Untuk f(3) = - 5, maka

f(3) = a (3) + b = - 5

3a+ b = - 5

Untuk menentukan nilai a, masukan b = - 6 ke persamaan 3a+ b = - 5, maka

3a -6 = -5

3a = 1

a = 1/3

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x/3 – 6

c. Karena bentuk f(x) = ax + b  maka bentuk fungsi tersebut merupakan fungsi linear.

Untuk f(2) = 3, maka

f(2) = a (2) + b = 3

2a+ b = 3 => b = 3 – 2a

Untuk f(4) = 4, maka

f(4) = a (4) + b = 4

4a+ b = 4

Untuk menentukan nilai a, masukan b = 3 – 2a ke persamaan 4a+ b = 4maka

4a+ b = 4

4a + (3 – 2a) = 5

2a = 2

a = 1

Untuk menentukan nilai b, nilai a = 1 ke persamaan:

b = 3 –2a

b = 3 – 2a

b = 3 – 2(1)

b = 1

maka bentuk fungsi tersebut adalah f(x) = x + 1

Contoh Soal 4

Diketahui f(x) = (x + a) + 3 dan f(2) = 7. Tentukan

a. bentuk fungsi f(x);

b. nilai f(–1);

c. nilai f(–2) + f(–1);

d. bentuk fungsi f(2x – 5).

Penyelesaian:

a. Tentukan terlebih dahulu nilai dari a, yakni:

f(x) = (x + a) + 3

f(2) = (2 + a) + 3 = 7

a = 2

maka bentuk dari f(x) adalah f(x) = x + 5

b. nilai f(–1) yakni:

f(x) = x + 5

f(–1) = –1 + 5

f(–1) = 4

 c. nilai f(–2) + f(–1)yakni:

f(x) = x + 5

f(–2) + f(–1) =( - 2 + 5) + (–1 + 5)

f(–2) + f(–1) = 3 + 4

f(–2) + f(–1) = 7

d. bentuk fungsi f(2x – 5) yakni:

f(x) = x + 5

f(2x – 5) = 2x – 5 + 5

f(2x – 5) = 2x

5. Diketahui dua buah fungsi, yaitu f(x) = 2 –ax/2 dan g(x) = 2 – (a – 3)x. Jika f(x) = g(x), tentukan

a. nilai a;

b. bentuk fungsi f(x) dan g(x);

c. bentuk fungsi f(x) + g(x);

d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4)

Penyelesaian:

a. nilai a yakni:

f(x) = g(x)

2 – ax/2 = 2 – (a – 3)x

(4 – ax)/2 = 2 – (a – 3)x

4 – ax = 2(2 – (a – 3)x)

4 – ax = 4 – 2(a – 3)x

4 – ax = 4 – 2ax + 6x

4 – 4 – ax + 2ax = 6x

ax = 6x

a = 6x/x

a = 6

Jadi nilai a adalah 6

b. bentuk fungsi f(x) dan g(x) dengan memasukan nila a = 6 maka

f(x) = 2 –ax/2

f(x) = 2 –6x/2

f(x) = 2 –3x

g(x) = 2 – (a – 3)x.

g(x) = 2 – (6 – 3)x.

g(x) = 2 – 3x.

c. bentuk fungsi f(x) + g(x);

f(x) + g(x) = (2 – 3x) + (2 – 3x.)

f(x) + g(x) = 4 – 6x

d. nilai f(–1), f(2), g(1), dan g(4)

f(x) = 2 – 3x

f(–1) = 2 – 3(–1) = 5

f(2) = 2 – 3(2) = - 4

g(x) = 2 – 3x

g(1) =  2 – 3(1) = - 1  

g(4) = 2 – 3(4) = - 10

Cara Menghitung Nilai Perubahan Fungsi Jika Nilai Variabel Berubah

Sebelumnya Mafia Online sudah memposting bahwa suatu fungsi f(x)mempunyai variabel x dan untuk nilai variabel x tertentu, kita dapatmenghitung nilai fungsinya. Jika nilai variabel suatu fungsi berubah maka akan menyebabkan perubahan pada nilai fungsinya. Misalnya ada sebuah fungsi f(x) = ax + b, kemudian variabel x diubah menjadi (nx + m)dapatkah Anda tentukan nilai perubahan fungsi tersebut? 

Dengan mensubstitusi perubahan variabel ke variabel sebelumnya maka perubahan fungsi tersebut:

 f(x)=ax+b
f(nx+m)=a(nx+m)+b
f(nx + m) = anx + am + b

Nah itulah perubahan fungsinya jika variabelnya di ubah. Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menghitung nilai perubahan fungsi jika nilai variabelnya berubah, silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Jika diketahui f(x) = 5x + 3 tentukan nilai perubahan fungsi dari f(x + 3) dan selisih antara f(x + 3)– f(x).

.

Penyelesaian:

f(x) = 5x + 3

f(x + 3) = 5(x + 3) + 3

f(x + 3) = 5x + 15 + 3

f(x + 3) = 5x + 18

f(x + 3) – f(x)

= (5(x + 3) + 3) – (5x + 3)

= 5x + 15 + 3 – 5x – 3

= 15

Nilai perubahan fungsi dari f(x) menjadi f(x + 3) adalah selisih antara f(x) dan f(x + 3) adalah 15

Contoh soal 2

Fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x – 6.

a. Tentukan rumus fungsi yang paling sederhana dari f(x + 1), f(2x – 1), dan f(x²).

b. Tentukan rumus fungsi untuk f(x – a) untuk suatu bilangan asli a dan tentukan perubahan fungsi f(x + a) – f(x).

Penyelesaian:

f(x) = 2x – 6

f(x + 1) = 2(x + 1)  – 6

f(x + 1) = 2x – 4

f(2x – 1) = 2(2x – 1)  – 6

f(2x – 1) = 4x – 8

f(x²) = 2(x²)  – 6

f(x²) = 2x²  – 6

b. Rumus fungsi untuk f(x – a) untuk suatu bilangan asli a yakni

f(x) = 2x – 6

f(x – a) = 2(x – a) – 6

f(x – a) = 2x – 2a – 6

f(x – a) = 2x – (2a + 6)

f(x + a) = 2(x + a) – 6

f(x + a) = 2x + 2a – 6

Perubahan fungsi f(x + a) – f(x) adalah

f(x + a) – f(x) = 2x + 2a – 6 – (2x – 6)

f(x + a) – f(x) = 2x + 2a – 6 – 2x + 6

f(x + a) – f(x) = 2a

Contoh soal 3

Jika fungsi f dirumuskan dengan f(x) = 4x + 3, untuk x bilangan real maka tentukan rumus fungsi yang paling sederhana dari f(x – 3) dan f(x) – f(x – 3).

Penyelesaian:

f(x) = 4x + 3

f(x – 3) = 4(x – 3) + 3

f(x – 3) = 4x – 9

f(x) – f(x – 3) = (4x + 3) – (4x – 9)

f(x) – f(x – 3) = 4x + 3 – 4x + 9

f(x) – f(x – 3) = 12

Contoh soal 4

Diketahui fungsi f(x) = 2x untuk suatu x bilangan real.

a. Apakah fungsi f(–x) = –f(x)?

b. Bagaimana dengan fungsi f(x) = x²? Apakah f(–x) = –f (x)?

Penyelesaian:

a. Untuk f(- x), maka

f(x) = 2x

f(–x) = 2(–x)

f(–x) = –2x

–f(x) = - (2x)

–f(x) = - 2x

Jadi fungsi f(–x) = –f(x)

b untuk fungsi f(x) = x², maka

f(–x) = (–x)²

f(–x) = x²

–f (x) = – x² 

Jadi, fungsi f(–x) ≠ –f (x)

Contoh Soal 5

Jika f(x) = x + 1 untuk x bilangan ganjil, apakah fungsi f(–(x + 2)) = f(–x –2)?

Penyelesaian:

f(x) = x + 1

f(–(x + 2)) = –(x + 2) + 1

f(–(x + 2)) = –x – 2 + 1

f(–(x + 2)) = –x – 1

f(–x –2) = –x –2 + 1

f(–x –2) = –x –1

Jadi, fungsi f(–(x + 2)) = f(–x –2)

Contoh Soal 6

Jika f(x) = 4x – 5 untuk x bilangan real maka tentukan nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = f(2x + 1).

Penyelesaian:

f(x) = 4x – 5

f(2x + 1) = 4(2x + 1) – 5

f(2x + 1) = 8x + 4 – 5

f(2x + 1) = 8x – 1

Jika f(x) = f(2x + 1) maka

f(x) = f(2x + 1)

4x – 5 = 8x – 1

4x – 8x = – 1 + 5

– 4x = 4

x = – 1

Jadi untuk f(x) = f(2x + 1) maka nilai x adalah – 1

Cara Menggambar Grafik Fungsi atau Pemetaan

Suatu pemetaan atau fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibuat grafik pemetaannya. Masih ingatkah Anda tentang cara menyajikan suatu fungsi (pemetaan)? Suatu fungsi (pemetaan) dapat disajikan dengan tiga cara yakni diagram panah, diagram Cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

Grafik suatu fungsi erat kaitannya dengan diagram cartesius, karena grafik suatu pemetaan (fungsi) adalah bentuk diagram Cartesius dari suatu pemetaan (fungsi). Jadi agar Anda mampu memahami cara menggambar grafik dari suatu fungsi (pemetaan) harus paham terlebih dahulu cara penyajian suatu fungsi (pemetaan) khususnya diagram Cartesius.

Agar Anda lebih mudah memahami cara menggambar grafik fungsi (pemetaan), silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Diketahui fungsi f : x à 3x – 5 dengan domain P = {x | 0 ≤ x ≤ 5} variabel x merupakan himpunan bilangan cacah ke himpunan bilangan real. Gambarlah grafiknya pada bidang Cartesius dan berbentuk apakah grafik fungsi tersebut?

Penyelesaian:

f (x) = 3x – 5

P = {x | 0 ≤ x ≤ 5} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Dengan mensubstitusi variabel x ke persamaan fungsi f(x) maka:

f (x) = 3x – 5

f (0) = 3.0 – 5 = – 5

f (1) = 3.1 – 5 = – 2

f (2) = 3.2 – 5 = 1

f (3) = 3.3 – 5 = 4

f (4) = 3.4 – 5 = 7

f (5) = 3.5 – 5 = 10

Jika hasil (range) tersebut dimasukan ke dalam sebuah tabel akan tampak seperti gambar tabel di bawah ini.

Kemudian dari tabel tersebut jika dimasukan ke dalam grafik (diagram cartesius) maka akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Jika dihubungkan titik-titik tersebut maka grafik tersebut berbentuk garis lurus (linear), gambarnya tampak seperti gambar di bawah ini. 

Berdasarkan pemaparan di atas bahwa fungsi f pada himpunan bilangan real  yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax + b dengan a, b anggota himpunan bilangan real dan a ≠ 0 disebut fungsi linear karena berupa suatu garis lurus dengan persamaan y = ax + b.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menggambar grafik fungsi atau pemetaan, silahkan kerjakan soal latihan di bawah ini.

Soal Latihan

Gambarlah grafik fungsi f (x) = x + 3 dengan domain {x | 0 ≤ x ≤ 8}, di mana variabel x merupakan anggota himpunan bilangan bulat.

 

Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu Himpunan

Mungkinkah satu rumah memiliki dua nomor rumah? Atau mungkinkah dua rumah memiliki nomor rumah yang sama? Tentu saja jawabannya tidak. Keadaan sebuah rumah memiliki satu nomor rumah atau satu nomor rumah dimiliki oleh sebuah rumah dikatakan sebagai korespondensi satu-satu. Jadi, apa pengertian korespondensi satu-satu?

Sumber gambar: PSS Google Images

Contoh lain yang menunjukan korespondensi satu-satu adalah nomor absen siswa di kelas, tidak mungkin dalam satu kelas seorang siswa memiliki dua nomor absen, begitu juga sebaliknya tidak mungkin satu nomor absen dimiliki oleh dua orang siswa. Misalkan empat orang siswa dipanggil berdasarkan nomor urut absen 1 samapai 4 untuk maju ke depan untuk menjawab soal matematika tentang materi fungsi, yakni: Eka, Wahyu, Mira dan Wahono. 

Selanjutnya jika kita misalkan A = {Eka, Wahyu, Mira, Wahono} dan B = {1, 2, 3, 4} maka "nomor absen" adalah relasi dari A ke B. Relasi "nomor absen" dari himpunan A ke himpunan B pada permasalahan di atas dapat digambarkan seperti gambar diagram panah di bawah ini.

Sekarang coba perhatikan gambar diagram panah di atas! Dari gambar di atas terlihat bahwa setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawan di himpunan B. Dengan demikian relasi "nomor absen" dari himpunan A ke himpunan B merupakan suatu pemetaan. Nah pemetaan seperti itu disebut dengan istilah korespondensi satu-satu. Berdasarkan pemaparan di atas apa pengertian korespondensi satu-satu?
 
Berdasarkan pemaparan di atas dapat disimpulkan bahwa korespondensi satu-satu adalah fungsi yang memetakan anggota dari himpunan A dan B, dimana semua anggota A dan B dapat dipasangkan sedemikian sehingga setiap anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B dan setiap anggota B berpasangan dengan tepat satu anggota A. 

Jadi, salah satu syarat suatu fungsi atau pemetaan dikatakan sebagai korespondesni satu-satu jika banyak anggota himpunan A dan B sama atau n(A) = n(B). Bagaimana cara mencari banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B?

Jika n(A) = n(B) = n maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah n! = n × (n – 1) × (n – 2) × ... × 3 × 2 × 1. n! dibaca : n faktorial.

Contoh Soal

Berapa banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan K = {huruf vokal} dan L = {bilangan cacah antara 0 dan 6}?

Peneyelesaian:

K = {huruf vokal} ={a, i, u, e, o}

L = {bilangan cacah antara 0 dan 6} = {1, 2, 3, 4, 5}

n(K) = n(L) = 5 maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan K dan L adalah:

5!=5 × 4 × 3 × 2 × 1=120buah
Jadi banyak korespondensi satu-satu yang dapat dibuat dari himpunan K = {huruf vokal} dan L = {bilangan cacah antara 0 dan 6} adalah 120 buah.