MAKALAH EVALUASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA "KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIKA"

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Kemampuan matematis adalah kemampuan untuk menghadapi permasalahan baik dalam matematika maupun kehidupan nyata. Berdasarkan tujuan pembelajaran matematika di Indonesia tersirat bahwa kemampuan matematis meliputi: 1. Kemampuan pemecahan masalah (problem solving), 2. Kemampuan berargumentasi (reasonning), 3. Kemampuan berkomunikasi (communication), 4. Kemampuan membuat koneksi (connection), 5. Kemampuan representasi (representation).

Kemampuan representasi sangat berhubungan dengan pemecahan masalah. Montague mengatakan bahwa pada dasarnya pemecahan masalah mempunyai dua langkah, yaitu representasi masalah dan menyelesaikan masalah. Pemecahan masalah yang sukses tidak mungkin tanpa representasi masalah yang sesuai. Representasi masalah yang sesuai adalah dasar untuk memahami masalah dan membuat suatu rencana untuk memecahkan masalah. Siswa yang mempunyai kesulitan dalam merepresentasikan masalah matematika akan memiliki kesulitan dalam melakukan pemecahan masalah.

Dengan demikian seiring dengan pentingnya kemampuan pemecahan masalah dalam pembelajaran matematika, maka kemampuan representasi matematik sebagai bagian yang tak terpisahkan dari pemecahan masalah juga berperan dalam pembelajaran matematika .

B.     RUMUSAN MASALAH

Dari latar belakang diatas dapat diperoleh rumusan masalah adalah sebagai berikut :

1.      Apa yang dimaksud dengan kemampuan representasi matematika?

2.      Jenis-jenis kemampuan representasi matematika ?

3.      Bagaimana representasi dalam pembelajaran matematika?

4.      Bagaimana rubrik dan instrumen kemampuan representasi matematika?

C.     TUJUAN MAKALAH

1.      Untuk mengetahui kemampuan representasi matematika.

2.      Untuk mengetahui jenis-jenis representasi matematika.

3.      Untuk mengetahui kemampuan representasi dalam pembelajaran matematika.

4.      Untuk mengetahui rubrik dan instrumen kemampuan representasi matematika .

BAB II

PEMBAHASAN

A.                     Pengertian Kemampuan Representasi Matematika

Menurut NCTM (dalam Teacher Professional Development and Classroom Resaurces Across the Curriculum), representasi membantu menggambarkan, menjelaskan, atau memperluas ide matematika dengan berfokus pada fitur-fitur pentingnya. Representasi meliputi simbol, persamaan, kata-kata, gambar, table, grafik, objek manipulatif, dan tindakan serta mental cara internal berpikir tentang ide matematika. Representasi adalah alat berpikir yang kuat, namun bagi banyak siswa, kekuatan ini tidak dapat diakses kecuali mereka menerima bimbingan terarah dalam mengembangkan repertoar mereka.

Semakin banyak terlibat belajar matematika, siswa dapat memperluas pemahaman ide matematika atau hubungan dengan berpindah dari satu jenis representasi ke representasi yang berbeda dari hubungan yang sama. Ini adalah salah satu alasan bahwa penting bagi siswa untuk menggunakan berbagai bahan manipulatif, yang selanjutnya berkaitan dengan metode untuk memecahkan masalah.

Terdapat beberapa definisi yang dikemukakan para ahli berkenaan tentang representasi yaitu:

1.                       Representasi merupakan cara yang digunakan seseorang untuk mengkomunikasikan jawaban atau gagasan matematik yang bersangkutan (Cai, Lane, & Jacabcsin dalam Syarifah Fadillah).

2.                       Representasi didefinisikan sebagai aktivitas atau hubungan dimana satu hal mewakili hal lain sampai pada suatu level tertentu untuk tujuan tertentu dan yang kedua oleh subjek atau interpretasi pikiran. Representasi menggantikan atau mengenai penggantian suatu obyek, penginterpretasian pikiran tentang pengetahuan yang diperoleh dari suatu obyek, yang diperoleh dari pengalaman tentang tanda representasi (Parmentier dalam Syarifah Fadillah).

3.                       Representasi merupakan proses pengembangan mental yang sudah dimiliki seseorang, yang terungkap dan divisualisasikan dalam berbagai model matematika, yakni: verbal, gambar, benda konkret, tabel, model-model manipulatif atau kombinasi dari semuanya (Steffe, Weigel, Schultz, Waters, Joijner, & Reijs dalam Syarifah Fadillah).

4.                       Dalam psikologi umum, representasi berarti proses membuat model konkret dalam dunia nyata ke dalam konsep abstrak atau simbol. Dalam psikologi matematika, representasi bermakna deskripsi hubungan antara objek dengan simbol (Hwang, Chen, Dung, & Yang dalam Syarifah Fadillah).

Dari beberapa definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa representasi adalah ungkapan-ungkapan dari ide matematika yang ditampilkan siswa sebagai model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi dari masalah yang sedang dihadapinya sebagai hasil dari interpretasi pikirannya. Suatu masalah dapat direpresentasikan melalui gambar, kata-kata (verbal), tabel, benda konkrit, atau simbol matematika.

B.                      Jenis-Jenis Kemampuan Representasi Matematika

Hiebert dan Carpenter (dalam Syarifah Fadillah) mengemukakan bahwa pada dasarnya representasi dapat dinyatakan sebagai representasi internal dan representasi eksternal. Berpikir tentang ide matematika yang kemudian dikomunikasikan memerlukan representasi eksternal yang wujudnya antara lain: verbal, gambar dan benda konkrit. Berpikir tentang ide matematika yang memungkinkan pikiran seseorang bekerja atas dasar ide tersebut merupakan representasi internal.

Representasi internal dari seseorang sulit untuk diamati secara langsung karena merupakan aktivitas mental dari seseorang dalam pikirannya (minds-on). Tetapi representasi internal seseorang itu dapat disimpulkan atau diduga berdasarkan representasi eksternalnya dalam berbagai kondisi; misalnya dari pengungkapannya melalui kata-kata (lisan), melalui tulisan berupa simbol, gambar, grafik, tabel ataupun melalui alat peraga (hands-on).

Dengan kata lain terjadi hubungan timbal balik antara representasi internal dan eksternal dari seseorang ketika berhadapan dengan sesuatu masalah. Schnotz (dalam Gagatsis, 2004) membagi representasi eksternal dalam dua kelas yang berbeda yaitu representasi descriptive dan depictive. Representasi descriptive terdiri atas simbol yang mempunyai struktur sembarang dan dihubungkan dengan isi yang dinyatakan secara sederhana dengan makna dari suatu konvensi, yakni teks, sedangkan representasi depictive termasuk tanda-tanda ikonik yang dihubungkan dengan isi yang dinyatakan melalui fitur struktural yang umum secara konkret atau pada tingkat yang lebih abstrak, yaitu, display visual.

C.                     Representasi dalam Pembelajaran Matematika

Vergnaud (dalam Syarifah Fadillah) menyatakan representasi merupakan unsur yang penting dalam teori belajar mengajar matematika, tidak hanya karena pemakaian sistem simbol yang juga penting dalam matematik dan kaya akan kalimat dan kata, beragam dan universal, tetapi juga untuk dua alasan penting yakni: (1) matematika mempunyai peranan penting dalam mengkonseptualisasi dunia nyata; (2) matematika membuat homomorphis yang luas yang merupakan penurunan dari struktur hal-hal lain yang pokok.

Penjelasan kedua alasan di atas yakni matematika merupakan hal yang abstrak, maka untuk mempermudah dan memperjelas dalam penyelesaian masalah matematika. Representasi sangat berperan, yaitu untuk mengubah ide abstrak menjadi konsep yang nyata, misalkan dengan gambar, simbol, kata-kata, grafik dan lain-lain. Selain itu matematika memberikan gambaran yang luas dalam hal analogi konsep dari berbagai topik yang ada. Dengan demikian diharapkan bahwa bilamana siswa memiliki akses ke representasi-representasi dan gagasan-gagasan yang mereka tampilkan, maka mereka memiliki sekumpulan alat yang secara signifikan siap memperluas kapasitas mereka dalam berpikir secara matematis (NCTM, 2000).

Menurut NCTM (dalam dalam Principle and Standard for Mathematics Education, program pembelajaran matematika sebaiknya menekankan pada representasi matematis untuk membantu perkembangan pemahaman matematis sehingga siswa mampu:

1.      Membuat dan menggunakan representasi untuk mengatur, mencatat, dan mengomunikasikan ide-ide.

2.      Mengembangkan suatu bentuk perwujudan dari representasi matematis yang dapat digunakan dengan tujuan tertentu, secara fleksibel dan tepat

3.      Mengomunikasikan representasi untuk memodelkan dan menginterpretasikan fenomena fisik, social, dan matematis.

Beberapa manfaat atau nilai tambah yang diperoleh guru atau siswa sebagai hasil pembelajaran yang melibatkan representasi matematik adalah sebagai berikut:

1.         Pembelajaran yang menekankan representasi akan menyediakan suatu konteks yang kaya untuk pembelajaran guru.

2.         Meningkatkan pemahaman siswa

3.         Menjadikan representasi sebagai alat konseptual

4.         Meningkatkan kemampuan siswa dalam menghubungkan representasi matematik dengan koneksi sebagai alat pemecahan masalah

5.         Menghindarkan atau meminimalisir terjadinya miskonsepsi

Bentuk- bentuk opersional representasi matematik beragam adalah sebagai berikut:

No	Representasi	Bentuk Operasional
1	Visual,berupa : a.       Diagram, grafik, atau tabel b.      Gambar	-          Menyajikan kembali data atau informasi dari suatu representasi ke presentasi diagram, grafik atau tabel. -          Menggunakan representasi visual untuk menyelesaikan masalah -          Membuat gambar pola geometri -          Membuat gambar bangun geometri untuk memperjelas masalh dan memfasilitasi penyelesaiannya
2	Persamaan atau ekpresi matematika	-          Membuat persamaan, model matematika atu representasi dari representasi lain yang diberikan -          Membuat konjektur dari suatu pola hubungan -          Menyelesaikan masalah dengan melibatkan ekspresi matematika
3	Kata-kata atau teks tertulis	-          Membuat situasi masalah berdasrkan data atau representasi yang diberikan -          Menuliskan interpretasi dari suatu representasi -          Menuliskan langkah-langkah penyelesaian masalah metematika dengan kata-kata -          Menyusun cerita yang sesuai dengan suatu representasi yang disajikan -          Menjawab soal dengan menggunakan kata-kata atau teks tertulis

D.          Rubrik Pada Kemampuan Representasi Matematika

           Asesmen merupakan suatu proses untuk memperoleh informasi dan mengambil keputusan berdasarkan informasi tersebut dengan tujuan tertentu. Asesmen kemampuan matematis siswa berarti assessment yang digunakan untuk memperoleh informasi tentang kemampuan matematis siswa meliputi : kemampuan pemacahan masalah, penalaran, komunikasi, koneksi dan representasi, yang bertujuan memutuskan sejauhmana tingkat kemampuan matematis siswa.  Untuk mengevaluasi kemampuan matematik siswa dapat menggunakan rubric penskoran atau pembobotan skor.

Rubrik penskoran yang digunakan untuk melihat kemampuan matematika dengan melihat tingkat kemampuan matematika siswa, strategi dan komunikasi, rubrik penskoran dapat berbentuk :

Aspek	Indikator	Skor
Pengetahuan Matematika	Menunjukkan pemahaman tentang semua konsep dan prinsip matematis yang terkandung di dalam masalah yang harus dipecahkannya. Menggunakan istilah dan notasi matematis yang sesuai Melaksanakan algoritma yang relevan dengan lengkap dan benar	4
	Menunjukkan bahwa siswa memahami hampir semua konsep dan prinsip matematis yang terkandung di dalam masalah yang harus dipecahkannya. Menggunakan istilah dan notasi matematis hampir betul. Melaksanakan algoritma yang relevan dengan lengkap, tetapi ada kesalahan kecil dalam hitungan.	3
	Menunjukkan bahwa siswa memahami sebagian konsep dan prinsip matematis yang terkandung di dalam masalah yang harus dipecahkannya. Berbuat kesalahan yang agak serius dalam hitungan	2
	Tampak bahwa pemahamannnya sangat terbatas tentang konsep dan prinsip matematika yang terkandung di dalam masalah yang harus dipecahkannya. Keliru atau tidak dapat menggunakan istilah atau notasi matematis sebagaimana yang seharusnya. Berbuat kekelruan parah dalam hitungan	1
	Tidak memahami konsep dan prinsip matematis yang terkandung di dalam masalah yang harus dipecahkannya.	0
Strategi	Menggunakan informasi yang relevan dari luar rumusan masalah yang harus dipecahkannya. Berhasil mengidentifikasi semua unsur penting di dalam masalah, dan menunjukkan bahwa siswa tahu hubungan yang ada antara unsur-unsur itu. Mencerminkan penggunaan strategi yang cocok dan sistematik dalam memecahkan masalah. Penyelesaian masalah yang digunakan jelas dan lengkap prosesnya.	4
	Menggunakan informasi yang relevan dari luar rumusan masalah yang harus dipecahkannya. Berhasil mengidentifikasi sebagian besar unsur penting di dalam masalah, dan menunjukkan bahwa siswa tahu hubungan yang ada antara unsur-unsur itu. Mencerminkan penggunaan strategi yang cocok dan sistematik dalam memecahkan masalah.. Penyelesaian masalah yang digunakan jelas dan hampir lengkap prosesnya.	3
	Berhasil mengidentifikasi beberapa unsur penting di dalam masalah, tetapi tampak bahwa siswa hampir tidak tahu hubungan yang ada antara unsur-unsur itu. Mencerminkan penggunaan strategi yang cocok, tetapi pemecahan masalah yang dilakukannya tidak sistematis dan tidak lengkap.	2
	Menggunakan informasi yang toidak relevan. Tidak mampu mengidentifikasi unsur-unsur penting di dalam masalah yang harus dipecahkannya. Menggunakan strategi yang tidak cocok. Tidak ada kejelasan tentang strategi yang digunanaknnya.  Penyelesaian masalah yang dibuatnya tidak sistematik dan tidak selesai.	1
	Ada usaha menggunakan informasi yang tidak relevan. Tidak mampu mengidentifikasi unsur-unsur penting dalam masalah yang harus dipecahkannya. Mungkin menulis masalah yang harus dipecahkannya.  Tetapi tidak mampu berusaha memecahkannya.	0
Komunikasi	Memberikan tanggapan yang lengkap, serta uraian yang jelas dan tidak meragukan. Membuat ganbar atau diagram yang cocok dan lengkap. Menyampaikan gagasannya dengan jelas. Menggunakan argumen yang logis dan lengkap. Memberikan contoh atau contoh-kontra.	4
	Memberikan tanggapan yang agak lengkap, serta uraian yang jelas. Membuat ganbar atau diagram yang cocok dan agak lengkap. Menyampaikan gagasannya dengan jelas. Menggunakan argumen yang logis, tetapi agak kurang lengkap.	3
	Membuat langkah yang benar dalam memecahkan masalah, tetapi belum selesai.  Di samping itu, penjelasannya agak tidak jelas. Membuat gambar atau diagram yang salah atau tidak jelas. Uraian yang dibuatnya tidak jelas, atau sukar dipahami. Argumennya tidak lengkap atau kurang logis.	2
	Membuat sedikit langkah yang benar dalam memecahkan masalah.  Langkah yang lain sulit diikuti. Membuat diagram atau ganmabar yang salah (tidak relevan dengan masalah yang harus dipecahkannya)	1
	Tidak dapat mengutarakan maksudnya. Kalimatnya tidak menggambarkan masalah yang harus dipecahkannya. Membuat gambar yang sama sekali tidak ada kaitannya dengan masalah yang harus dipecahkannya.	0

Berikut adalah salah satu bentuk rubrik penilaian pada kemampuan representasi matematika:

Kompetensi dasar           : Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika

Indikator                        : Menggunakan konsep barisan dan deret dalam menyelesaikan masalah dan mengidentifikasikan masalah.

Contoh soal :

Pada malam pertunjukkan dalam rangka membantu korban bencana alam, ruangan tempat duduk untuk para penonton dibagi atas beberapa baris. Masing-masing baris terdiri dari 200 tempat duduk. Harga karcis baris terdepan Rp. 150.000,00 per orang dan harga kacis baris paling belakang sebesar Rp. 50.000,00 per orang. Selisih harga karcis untuk tiap baris itu sama. Jika semua karcis habis terjual maka panitia berharap akan memperoleh uang sebesar Rp. 120.000.000,00. Berapakah harga karcis per orang dari sebelum baris paling belakang?

Jawab :

Karena selisih harga karcis untuk tiap baris selalu sama maka masalah itu akan diselesaikan menggunakan deret aritmatika. Perolehan uang dari karcis kelompok paling depan sebagai suku pertama (a) dan perolehan uang dari karcis kelompok paling belakang sebagai suku terakhir (U_n).

a    = (200)(150.000) = 30.000.000

U_n = (200)(50.000) = 10.000.000

S_n = 120.000.000

Ruangan tempat duduk dibagi atas 6 kelompok, maka harga karcis sebelum kelompok paling belakang adalah merupakan suku kelima (U₅).

Jadi harga karcis per orang pada baris sebelum baris paling belakang adalah Rp. 70.000,00.

Alasan :

1.      Siswa dapat melakukan perhitungan dan representasi dalam menyelesaikan masalah dengan meggunakan konsep barisan dan deret.

2.      Siswa dapat menemukan pola dan hubungan antara permasalahn dengan konsep barisan dan deret.

Rubrik penilaian representasi

Uraian		Penskorannya
Kriteria	Penjelasan	1	2	3	4
Ketepatan perhitungan	1.        Banyak kesalahan perhitungan 2.        Ada beberapa kesalahan perhitungan a.       Salah menggunakan rumus b.      Sangat sedikit melakukan kesalahan perhitungan c.       Penggunaan rumus sudah benar d.      Sangat sedikit melakukan kesalahan perhitungan e.       Penggunaan rumus sudah tepat f.       Penyelesaian disajikan dengan rapi  dan baik
Penjelasan	1.      Tidak jelas 2.      Tidak memahami pola barisan dan deret aritmatika. a.         Meragukan b.        Ada pemahaman pola c.         Ditulis dengan jelas d.        Memahami satu aspek hubungan suku ke – n dengan jumlah n suku pertama e.         Ditulis dengan jelas f.         Memahami kedua aspek hubungan suku ke – n dengan banyak suku ke – n
Jawaban yang didapat	1.    Tidak benar sama sekali atau tidak menjawab sama sekali 2.    Tidak menggambarkan representasi dengan dunia nyata atau dengan symbol matematika a.         Sebagian jawaban benar b.        Sedikit menggambarkan representasi dengan dunia nyata atau dengan symbol matematika c.         Jawaban hampir sebagian besar benar d.        Hampir sebagian besar menggambarkan representasi dengan dunia nyata atau dengan symbol matematika e.         Jawaban yng diperoleh benar dan tepat f.         Sudah menggambarkan representasi dengan dunia nyata atau dengan symbol matematika

BAB III

PENUTUP

A.                     Kesimpulan

Representasi adalah ungkapan-ungkapan dari ide matematika yang ditampilkan siswa sebagai model atau bentuk pengganti dari suatu situasi masalah yang digunakan untuk menemukan solusi dari masalah yang sedang dihadapinya sebagai hasil dari interpretasi pikirannya. Suatu masalah dapat direpresentasikan melalui gambar, kata-kata (verbal), tabel, benda konkrit, atau simbol matematika. Hiebert dan Carpenter mengemukakan bahwa pada dasarnya representasi dapat dinyatakan sebagai representasi internal dan representasi eksternal.

Representasi sangat berperan, yaitu untuk mengubah ide abstrak menjadi konsep yang nyata, misalkan dengan gambar, simbol, kata-kata, grafik dan lain-lain.

B.                     Saran

 Sebagai  seorang calon guru sangatlah penting untuk mengetahui kemampuan representasi matematika .semoga dengan pembuatan makalah ini dapat menambah wawasan serta membantu pembaca. Kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan atau kekurangan dalam pembuatan makalah ini.